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द्विघात समीकरण के मूल निकालने का सूत्र भारत के प्रसिद्ध गणितज्ञ भास्कराचार्य (भास्कर द्वितीय) ने निकाला था।
इसमें दो चर
प्राप्त करने हैं जो समीकरण
को सन्तुष्ट करते हैं।
यदि
तथा
रखते हुए चर को बदल दिया जाय तो यह सरल हो जाता है-
![{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cd56f43e97a75ddf8fbd26a42ad74ea8a4ad22)
- उपरोक्त अनुसार चर को बदलने पर,
![{\displaystyle x^{2}+2mx+n=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f080db0a986dd840115aab136a73d3078be1fbca)
- दोनों पक्षों में
जोड़ने तथा n घटाने पर,
![{\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdcffa226d2025f415a7175f326e8ed1936f2ee)
- हम देखते हैं कि बांया पक्ष पूर्ण वर्ग है।
![{\displaystyle (x+m)^{2}=m^{2}-n\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22f71f498c12d85460263371b0d4069e9ab83d55)
- दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,
![{\displaystyle x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c402c8c6188dc16f44eab665142db3d7c3e926d3)
को दाएं पक्ष में ले जाने पर,
![{\displaystyle x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520a5927b763f329a2e34b45ef88a1d9fc25b93b)
- सबसे ऊपर किए गये चर परिवर्तन को
तथा
रखकर हटाने पर,
![{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18c6bb2eb13f5a32c6c84443866259ad51a1d8a)
- अन्ततः मूलों के लिए हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है-
![{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8686c0bdc8537f77dd10bf1067c5fa20ea84e49)
- निम्नलिखित द्विघात समीकरण लेते हैं-
con ![{\displaystyle a\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f455a7f96d74aa94573d8e32da3b240ab0aa294f)
- दोनों पक्षों में
से गुणा करने पर,
![{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80791c40cce7c87321073e41894358f8a70dc8d)
- दोनों तरफ
जोड़ने पर,
![{\displaystyle b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60797b3753972148d0ab6feb88fe79d9bd10bae5)
![{\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94c72ce78efe9aac314000026ad1405c2135b5c)
- बाएं पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर,
![{\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9ebb195efb0f150620555febd95bb0eff79031)
- दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,
![{\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd03134a4de7e731f4ed4d3a6161e30d9d947f2)
को दाएँ पक्ष में ले जाने पर,
![{\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a292ad8a5928d6134263dffdbfbdaed50ffe26a)
- चूंकि
, दोनों तरफ
से भाग करने पर,
![{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c4002e23f9dde4ea55258746368754c0ee4ac)